Question

【題目】中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線與圓：有公共點(diǎn)，且圓在點(diǎn)處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置分兩種情況討論，先求出圓在點(diǎn)的切線為，再根據(jù)題得

到關(guān)于a,b的方程組，解方程組即得a 和雙曲線實(shí)軸的長(zhǎng).

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)為，

圓有公共點(diǎn)，，圓在點(diǎn)的切線方程的斜率為：，

圓在點(diǎn)的切線為：，即，

圓在點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，并且中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線，

可得，所以a=2b, (1)

因?yàn)?/span>, (2)

解方程（1）(2)得無(wú)解.

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)為，

圓有公共點(diǎn)，，圓在點(diǎn)的切線方程的斜率為：，

圓在點(diǎn)的切線為：，即，

圓在點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，并且中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線，

可得，所以b=2a, (3)

因?yàn)?/span>, (4)

解方程（3）(4)得,所以該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.

故答案為：