Question

15．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a}{x}+1$
（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若f（x）＜x²+1在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，得到h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 （1）由題意知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
且f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$…（3分）
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．         …（5分）
（2）∵f（x）＜x²+1，
∴l(xiāng)nx-$\frac{a}{x}$+1＜x²+1；
又x＞0，∴a＞xlnx-x³       …（7分）
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²
h′（x）=$\frac{1-6x}{x}$，
∵x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，…（9分）
∴h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)．
g（x）＜g（1）=-1，
∴當(dāng)a≥-1時(shí)，f（x）＜x²+1在（1，+∞）上恒成立．
那a的取值范圍是[-1，+∞）．           …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．