Question

2．求下列數(shù)列的通項公式．
（1）已知{a_n}滿足：a₁=0，a_n+1=a_n+n，求數(shù)列{a_n}的一個通項公式（已知1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$）；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，求數(shù)列{a_n}的一個通項公式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-a_n-1=n-1，兩邊累加法得到a_n-a₁=$\frac{n（n-1）}{2}$，即可求出數(shù)列{an}的一個通項公式，
（2）由題意可得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{6}{4}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，兩邊累乘得到a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

解答 解：（1）a₁=0，a_n+1=a_n+n，即a_n+1-a_n=n，
∴a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-a_n-1=n-1，
累加得到，a₂-a₁+a₃-a₂+a₄-a₃+…+a_n-a_n-1=1+2+3+…+n-1+n-n=$\frac{n（n+1）}{2}$-n=$\frac{n（n-1）}{2}$
∴a_n-a₁=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，
（2）∵{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{6}{4}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
累乘得到，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{1}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{4}$×…×$\frac{n}{n-2}$×$\frac{n+1}{n-1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題