Question

設函數(shù)，，其中為實數(shù),若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍．

Answer 1

a∈(e,+∞)

試題分析：分別利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間與在上的最小值，與給定的在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值相結(jié)合，得出關于的關系式，可得的取值范圍．
解：令,
考慮到f(x)的定義域為(0,+∞),故a>0,進而解得x>a^-1,即f(x)在(a^-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),
同理,f(x)在(0,a^-1)上是單調(diào)增函數(shù)．
由于f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),故(1,+∞)(a^-1,+∞),從而a^-1≤1,即a≥1,
令g'(x)=e^x-a=0,得．
當時, ;當x>時, ．
又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以,
即a>e．綜上,有a∈(e,+∞)．
考點:利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．