Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)充畫出函數(shù)f（x）的完整圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可補(bǔ)充函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，分析圖象與y=m的交點(diǎn)情況，可得關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖可得：
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-1，0]，（1，+∞），
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，-1]，（0，1]；
（2）方程f（x）=m根的個(gè)數(shù)，等同于圖象與y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由圖可得方程f（x）=m有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即圖象與y=m的有兩個(gè)交點(diǎn)，
則m∈（0，+∞）∪{-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．