Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=（a-2）1n（-x）+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的對數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)小于0，從而求出函數(shù)遞減．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（-∞，0），
a=0時，f（x）=-2ln（-x）+$\frac{1}{x}$，x＜0，
f′（x）=-$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）遞增，在（-$\frac{1}{2}$，0）遞減，
∴f（x）_最大值=f（-$\frac{1}{2}$）=2ln2-2；
（2）a＜0時，f′（x）=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＜0，a＜0，∴ax+1＞0，2x-1＜0，
∴f′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，
∴f（x）在（-∞，0）遞減．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．