Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)

2

bn

=

1

an

+1，數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和T_n，求證：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

變形可得：

1

an+1

-

1

an

=2，易得數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，可求出數(shù)列{b_nb_n+2}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和T_n后，易得答案．

解答：證明：（1）由an+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2且

1

a1

=1，…（2分）
所以數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，…（3分）
（2）由（1）得：

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，得：an=

1

2n-1

；------------（5分）
由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，
∴bn=

1

n

，------------（7分）
從而：bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)------------（9分）
則 T_n=b₁b₃+b₂b₄+…+b_nb_n+2
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)------------（12分）
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的確定，數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是由已知得到

1

an+1

-

1

an

=2，（2）的關(guān)鍵是由裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和T_n