Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點A（0，-2）和C（0，2），頂點B在橢圓$\frac{y^2}{12}$+$\frac{x^2}{8}$=1上，則$\frac{sinA+sinC}{sinB}$的值是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由已知利用橢圓的定義可得|AB|+|BC|=2a，AC=2c．在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{|BC|+|AB|}{|AC|}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
由橢圓$\frac{y^2}{12}$+$\frac{x^2}{8}$=1，可得：a=$2\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2．
∴△ABC的頂點A（0，-2）和C（0，2），為橢圓的兩個焦點．
∴|AB|+|BC|=2a=4$\sqrt{6}$，AC=2c=4．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{|BC|+|AB|}{|AC|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{4\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．