Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，f（1）=-3，且對(duì)任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立．
（1）求b的值；
（2）求證f（2）=0，并求f（x）解析式；
（3）若對(duì)任意t∈（1，2]，恒有f（tm）+f（-m-1-t²）＜0，求正數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，我們易根據(jù)f（-x）=-f（x）恒成立，構(gòu)造方程，解方程即可求出求b的值；
（2）由對(duì)任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立我們可得f（-2）≥0且f（2）≥0結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，即可得到f（2）=0，結(jié)合已知中f（1）=-3，構(gòu)造方程組，解方程組即可得到f（x）解析式；
（3）根據(jù)（2）中的解析式，我們易判斷f(x)=

x2-4

x

=x-

4

x

在（0，+∞）是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，我們可將不等式f（tm）+f（-m-1-t²）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問題，進(jìn)而得到正數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即

x2+c

-ax+b

=-

x2+c

ax+b

恒成立，
可得b=0（2分）
（2）∵π≤x≤2π，
∴-1≤sinx≤0，-1≤cosx≤1，
∴-2≤sinx-1≤-1，2≤cosx+3≤4
又∵f（sinx-1）≥0，f（cosx+3）≥0恒成立，
∴f（-2）≥0且f（2）≥0，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴由f（-2）≥0可得f（2）≤0，
∴f（2）=0（6分）
∴由f(2)=

4+c

2a

=0，及f(1)=

1+c

a

=-3，得c=-4，a=1，
∴f(x)=

x2-4

x

（8分）
（3）∵f（x）是奇函數(shù)得f（tm）＜f（t²+m+1），
又∵f(x)=

x2-4

x

=x-

4

x

在（0，+∞）是增函數(shù)，m＞0，t＞0，
∴tm＞0，m+1+t²＞0∴tm＜t²+m+1，∴（t-1）m＜t²+1，（10分）
∵t∈（1，2]∴t-1＞0，
∴m＜

t2+1

t-1

在t∈（1，2]上恒成立
設(shè)k=t-1，則k∈（0，1]且t²+1=k²++2k+2，設(shè)g(k)=

k2+2k+2

k

=k+

2

k

+2，
則g（k）在k∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（k）_min=g（1）=5，∴m＜5，
又m＞0，所以0＜m＜5（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知利用方程和函數(shù)的思想，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．