Question

已知函數(shù)（a、b、c∈N）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點對稱，且f（2）=2，f（3）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）設x是正實數(shù)，求證：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的圖象按平移后得到的圖象所對應的函數(shù)式為．
∵函數(shù)f（x）的圖象平移后得到的圖象關(guān)于原點對稱，
∴f（-x+1）=-f（x+1），即．
∵a∈N，∴ax²+1＞0．∴-bx+c=-bx-c，∴c=0．
又∵f（2）=2，∴．∴a+1=2b，∴a=2b-1． ①
又．∴4a+1＜6b． ②
由①，②及a、b∈N，得a=1，b=1．
（Ⅱ）證明：n=1時，結(jié)論顯然成立．
當n≥2時，
===．
分析：（Ⅰ）利用平移規(guī)律，可得，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象平移后得到的圖象關(guān)于原點對稱，可得f（-x+1）=-f（x+1），從而可求c的值，根據(jù)f（2）=2，f（3）＜3，a、b∈N，可得a，b的值；
（Ⅱ）當n≥2時，利用二項展開式，再進行放縮，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查不等式的證明，考查函數(shù)的性質(zhì)，同時考查二項式定理的運用，屬于中檔題．