Question

圓x²+y²=1內(nèi)有一定點A（

1

2

，0），圓上有兩點P、Q，若∠PAQ=90°，求過點P和Q的兩條切線的交點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)出交點的坐標(biāo)，設(shè)出兩條切線方程，轉(zhuǎn)化為P、Q的方程，求出直線OM與PQ之交點，代入中點E的軌跡方程即可．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則過P、Q的切線方程分別是
x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1．
又M（m，n）在這兩條切線上，有mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1，
∵P、Q兩點的坐標(biāo)滿足方程mx+ny=1，又兩點確定唯一一條直線，
∴PQ所在直線的方程是mx+ny=1．
又∵E為直線OM與PQ之交點，解方程組

mx+nx=1 y= n m x

?x=

m

m2+n2

，y=

n

m2+n2

．
將（

m

m2+n2

，

n

m2+n2

）代入中點E的軌跡方程得x²+y²+

4

3

x-

8

3

=0．
這就是要求的過P、Q兩點的切線交點M的軌跡方程．

點評：本題考查交軌法求軌跡方程，思路明確，運算復(fù)雜，考查運算能力，是難題．