Question

12．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若△ABC的三個內(nèi)角滿足mtanAtanB=tanC（tanA+tanB），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）使用和差化積公式化簡得出tanC；
（II）分離參數(shù)利用切化弦化簡，用A表示B得出m關(guān)于A的函數(shù)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出m的范圍．

解答 解：（I）∵sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$，∴2（sinB+sinA）（sinB-sinA）=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B）．
∴2•2•sin$\frac{B+A}{2}$•cos$\frac{B-A}{2}$•2•cos$\frac{B+A}{2}$•sin$\frac{B-A}{2}$=$\sqrt{3}$•2cos$\frac{2A+2B}{2}$•sin$\frac{2A-2B}{2}$．
∴sin（A+B）sin（B-A）=-$\sqrt{3}$cosC•sin（A-B）．
∵sin（A+B）=sinC，sin（B-A）=-sin（A-B），
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即tanC=$\sqrt{3}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）∵mtanAtanB=tanC（tanA+tanB）=$\sqrt{3}$（tanA+tanB）
∴m=$\frac{\sqrt{3}（tanA+tanB）}{tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}sinC}{sinAsinB}$=$\frac{3}{2sinAsinB}$．
∵A+B=π-C=$\frac{2π}{3}$．
∴B=$\frac{2π}{3}-A$．
∴sinAsinB=sinAsin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{1}{2}$sin²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1．
∴0＜sinAsinB≤$\frac{3}{4}$
∴$\frac{3}{2sinAsinB}$≥2，
∴m的實數(shù)范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，和差化積公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．