Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-y+1≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$的最小值為4．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值，可得2a+3b=1，然后結(jié)合基本不等式求得$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-y+1≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（2，3），
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過(guò)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，等于2a+3b=1，
∴$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$=（$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$）（2a+3b）=2+$\frac{3b}{2a}+\frac{2a}{3b}$$≥2+2\sqrt{\frac{3b}{2a}•\frac{2a}{3b}}=4$．
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b，即$a=\frac{1}{4}，b=\frac{1}{6}$時(shí)上式等號(hào)成立．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．