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已知函數f（x）對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）-3，且f（1）=1，若當x≥2，且x∈N*時，不等式f（x）≥（a+2）x-（a+10）恒成立，則實數a的范圍是


  1. A.
    a≤5
  2. B.
    a＜5
  3. C.
    a≥5
  4. D.
    a＞5
A
分析：先求出f（x+1）與 f（x）的關系，用累加法求出f（x）的解析式，不等式等價變形，利用分離參數法，再由基本不等式求不等號右邊式子的最小值，則a應小于或等于此最小值．
解答：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0-3，f（0）=-3，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）-3=f（x）+2x，
即f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（2）-f（1）=2×1，f（3）-f（2）=2×2，f（4）-f（3）=2×3，…f（x）-f（x-1）=2×（x-1），
累加得：f（x）-f（1）=2[1+2+3+4…+（x-1）]=x2-x，
又f（1）=1，∴f（x）=x2-x+1，
∵x≥2時，不等式f（x）≥（a+2）x-（a+10）恒成立，
∴x2-x+1≥（a+2）x-（a+10）恒成立，
∴a≤=（x-1）+-1
由基本不等式得（x-1）+-1≥5（當且僅當x=4時，等號成立），
∴a≤5
故選A．
點評：本題考查函數解析式的確定，考查求參數的范圍，確定函數解析式，正確分離參數是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數k、b應滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數f（x）是偶函數；
②任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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