Question

18．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*），其前n項和為S_n，若a_n=cos$\frac{2nπ}{5}$，則在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，滿足S_m=0（1≤m≤100，m∈N^*）的m的個數(shù)為20．

Answer 1

分析 運用周期公式，求得T=5，運用三角函數(shù)的恒等變換公式，化簡可得S₅=0，即可得到滿足條件的m的值．

解答 解：a_n=cos$\frac{2nπ}{5}$，
可得周期T=$\frac{2π}{\frac{2π}{5}}$=5，
S₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=cos$\frac{2π}{5}$+cos$\frac{4π}{5}$+cos$\frac{6π}{5}$+cos$\frac{8π}{5}$+cos$\frac{10π}{5}$
=cos$\frac{2π}{5}$-cos$\frac{π}{5}$-cos$\frac{π}{5}$+cos$\frac{2π}{5}$+1
=-2（cos$\frac{3π}{5}$+cos$\frac{π}{5}$）+1
=1-4cos$\frac{2π}{5}$cos$\frac{π}{5}$=1+$\frac{-4cos\frac{2π}{5}（2sin\frac{π}{5}cos\frac{π}{5}）}{2sin\frac{π}{5}}$=1+$\frac{-4sin\frac{2π}{5}cos\frac{2π}{5}}{2sin\frac{π}{5}}$
=1+$\frac{-2sin\frac{4π}{5}}{2sin\frac{4π}{5}}$=1-1=0，
則滿足S_m=0（1≤m≤100，m∈N^*）的m的個數(shù)為
100÷5=20．
故答案為：20．

點評 本題考查三角函數(shù)的周期性及應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，以及運算能力，屬于中檔題．