Question

6．函數(shù)f（x）=Asin（$ωx-\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）與g（x）=cosωx的部分圖象如圖所示．
（1）求A，a，b的值及函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
2）若函數(shù)y=g（x-m）（m＞π）與y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）的圖象的對稱軸完全相同，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)g（x）=cosωx的部分圖象的周期性求得ω，由函數(shù)f（x）的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出a、b的值，由正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．
（2）先化簡g（x-m）、y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，求得m的最小值．

解答 解：（1）根據(jù)g（x）=cosωx的部分圖象可得ω•$\frac{π}{2}$=π，∴ω=2．
再根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（$ωx-\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）的部分圖象，可得A=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，
$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$=b-a，ωa-$\frac{π}{3}$=2a-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，ωb-$\frac{π}{3}$=2b-$\frac{π}{3}$=π．∴a=$\frac{5π}{12}$，b=$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=Asin（$ωx-\frac{π}{3}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[得kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵函數(shù)y=g（x-m）=cos（2x-2m）（m＞π），
y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1+2sin（2x-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2-2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）+2=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{7π}{12}$）+2=-2$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），
函數(shù)y=g（x-m）（m＞π）與y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）的圖象的對稱軸完全相同，
故這兩個函數(shù)的圖象最少相差半個周期，即2m=k•$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，即m=k•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{24}$，
故當(dāng)m＞π時，令k=4，可得它的最小值為$\frac{25π}{24}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．