Question

在△ABC中，若c-a等于邊AC上的高h(yuǎn)，則sin

C-A

2

+cos

A+C

2

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得sinC=

c-a

a

，sinA=

c-a

c

，進(jìn)而可得

1

sinA

-

1

sinC

=1，可得sinC-sinA=sinAsinC，由和差化積和積化和差公式整理結(jié)合角的范圍可得．

解答： 解：由題意可得sinC=

h

a

=

c-a

a

，sinA=

h

c

=

c-a

c

，
∴

1

sinA

-

1

sinC

=

c

c-a

-

a

c-a

=1，
∴sinC-sinA=sinAsinC，
∴2cos

C+A

2

sin

C-A

2

=-

1

2

[cos（A+C）-cos（A-C）]
=-

1

2

（2cos²

A+C

2

-1-1+2sin²

A-C

2

）
=-（cos²

A+C

2

-1+sin²

A-C

2

），
移項(xiàng)整理可得（cos

A+C

2

+sin

A-C

2

）²=1，
∵0＜

A+C

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+C

2

＜1，
∴cos

A+C

2

+sin

A-C

2

≠-1，
∴cos

A+C

2

+sin

A-C

2

=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及和差化積和積化和差公式，屬中檔題．