Question

20．當(dāng)a＞0，0≤x≤1時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）=-x²+2ax的最大值和最小值．

Answer 1

分析 先求二次函數(shù)圖象的對稱軸，因?yàn)殚_口向下，因此求最大值，根據(jù)對稱軸分三種情況討論，分別求出最大值和最小值．

解答 解：y=f（x）=-x²+2ax=-（x-a）²+a²，
函數(shù)y=-x²-2ax+1的圖象是開口朝下，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)在[0，a]上為增函數(shù)，在（a，1）上為減函數(shù)，x=a時(shí)，函數(shù)最大值為：a²，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)最小值為：2a-1；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，函數(shù)在[0，a]上為增函數(shù)，在（a，1）上為減函數(shù)，x=a時(shí)，函數(shù)最大值為：a²，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)最小值為：0；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，x=1時(shí)，函數(shù)最大值為：1，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)最小值為：0．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．