Question

10．已知命題p：實數(shù)x滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}2＜{2^x}＜8\\{x^2}-6x+8＜0\end{array}\right.$命題q：實數(shù)x滿足不等式（x-1）（x+a-12）≤0（其中a∈R）．
（Ⅰ）解命題p中的不等式組；
（Ⅱ）若p是q的充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2＜2^x＜8，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解得x范圍，利用一元二次不等式解法可得x²-6x+8＜0的解集，即可該不等式組的解集．
（II）p是q的充分條件，2＜x＜3使關(guān)于x的不等式（x-1）（x+a-12）≤0恒成立，即{ x|2＜x＜3}⊆{x|（x-1）（x+a-12）≤0}，對a分類討論即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由2＜2^x＜8，解得1＜x＜3，
由x²-6x+8＜0，解得2＜x＜4，
∴該不等式組的解集為{x|2＜x＜3}，
（Ⅱ）∵p是q的充分條件，
∴2＜x＜3使關(guān)于x的不等式（x-1）（x+a-12）≤0恒成立，
即{ x|2＜x＜3}⊆{x|（x-1）（x+a-12）≤0}，（*）
（1）當(dāng)1≥12-a，即a≥11時，不等式（x-1）（x+a-12）≤0的解為12-a≤x≤1，不滿足（*），
（2）當(dāng)1＜12-a，即a＜11時，不等式（x-1）（x+a-12）≤0的解為1≤x≤12-a，
于是有3≤12-a，解得a≤9，
故a的范圍是（-∞，9]．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．