Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x^2}+mx，x＜0}\end{array}}\right.$為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求f（-1）以及實數(shù)m的值；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（a）=1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義求f（-1）以及實數(shù)m的值；
（Ⅱ）作出函數(shù)的圖象，即可寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（a）=1，則a=1，或a²+2a=1（a＜0），即可求a的值．

解答 解：（Ⅰ）f（1）=1，f（x）為奇函數(shù)，∴f（-1）=-f（1）=-1
∴1-m=-1，
∴m=2；
（Ⅱ）函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1，1]；
（Ⅲ）若f（a）=1，則a=1，或a²+2a=1（a＜0），
∴a=1或a=-1-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的性質，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．