Question

11．已知命題p：不等式（1-x）（1-a）x＜1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；命題q：若不等式$\frac{{x}^{2}+ax+3}{x+1}$≥2對(duì)任意的x∈N⁺恒成立．若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過p為真，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；通過q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，通過p∧q為假命題，p∨q為真命題，分類討論求出求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：p真，（1-x）（1-a）x＜1恒成立?（1-a）x²-（1-a）x+1＞0恒成立，
（1）a=1時(shí)，1＞0恒成立，
（2）但a≠1時(shí)，滿足$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{△=（a-1）^{2}-4（1-a）=（a-1）（a+3）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{-3＜a＜1}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜1，
綜上-3＜a≤1，
q真，$\frac{{x}^{2}+ax+3}{x+1}$≥2對(duì)任意的x∈N^*恒成立等價(jià)為x²+ax+3≥2x+2，
即x²+（a-2）x+1≥0，
即（a-2）x≥-x²-1，
即a-2≥$\frac{-{x}^{2}-1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$），
當(dāng)x≥1時(shí)，-（x+$\frac{1}{x}$）$≤-2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
故a-2≥-2，即a≥0，
∵若p∧q為假命題，p∨q為真命題，
∴p與q為一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a≤1}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜0，
當(dāng)p假q真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a≤-3}\\{a≥0}\end{array}\right.$，解得a＞1，
綜上所述a的取值范圍為（1，+∞）∪（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，以及恒成立的問題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．