Question

5．已知拋物線C₁：y²=$\frac{1}{2}$x的焦點(diǎn)與拋物線C₂：x²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)之間的距離為$\frac{\sqrt{65}}{8}$．
（1）求拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)為A，過A的斜率為k（k＞0）的直線l₁與C₁的另一個交點(diǎn)為B，過A與l₁垂直的直線l₂與C₂的另一個交點(diǎn)為C，設(shè)m=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C₁：y²=$\frac{1}{2}$x的焦點(diǎn)與拋物線C₂：x²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)之間的距離為$\frac{\sqrt{65}}{8}$，可得p，進(jìn)而得到拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線C₁：y²=$\frac{1}{2}$x，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，求得|AB|，再設(shè)直線AC的方程，聯(lián)立拋物線方程x²=4y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|AC|，再求m的范圍，即可得到．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y²=$\frac{1}{2}$x的焦點(diǎn)與拋物線C₂：x²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)之間的距離為$\frac{\sqrt{65}}{8}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{65}}{8}$，
∴p=2，
∴拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程x²=4y；
（2）由C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)為A，可得A（2，1），
由題意得直線AB的方程為y-1=k（x-2），聯(lián)立拋物線C₁：y²=$\frac{1}{2}$x，消去y，
得k²x²+[2k（1-2k）-$\frac{1}{2}$]x+（1-2k）²=0，
則x_Ax_B=$\frac{（1-2k）^{2}}{{k}^{2}}$，
∵x_A=2，∴x_B=$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}}$（k≠$\frac{1}{4}$），
即有|AB|²=（1+k²）|x_A-x_B|=（1+k²）•|$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}}$-2|，
直線AC的方程為y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），聯(lián)立拋物線方程x²=4y，消去y，得kx²+4x-8-4k=0，
∴x_Ax_C=-4-$\frac{8}{k}$，
∵x_A=2，∴x_C=-2-$\frac{4}{k}$，
即有|AC|²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）|x_A-x_C|=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）•|-2-$\frac{4}{k}$-2|，
則有m²=（$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$）²=$\frac{1}{8}$|-4+$\frac{5}{k+1}$|，
∵0＜$\frac{5}{k+1}$＜5，$\frac{5}{k+1}$≠4，
∴有0＜m＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，以及弦長公式，注意化簡整理，屬于中檔題．