Question

F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)向△F₁MF₂頂點(diǎn)M的外角平分線引垂線，垂足為P，則P點(diǎn)的軌跡為（　　）

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

Answer 1

分析：根據(jù)題意，延長(zhǎng)F₁P，與F₂M的延長(zhǎng)線交于B點(diǎn)，連接PO．根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OP的長(zhǎng)恰好等于橢圓的長(zhǎng)半軸a，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=a²，由此可得本題答案．

解答：解：如圖所示
延長(zhǎng)F₁P，與F₂M的延長(zhǎng)線交于B點(diǎn)，連接PO，
∵M(jìn)P是∠F₁MB的平分線，且PM⊥BF₁
∴△F₁MB中，|MF₁|=|BM|且P為BF₁的中點(diǎn)
由三角形中位線定理，得|OP|=

1

2

|BF₂|=

1

2

（|BM|+|MF₂|）
∵由橢圓的定義，得|MF₁|+|MF₂|=2a，（2a是橢圓的長(zhǎng)軸）
可得|BM|+|MF₂|=2a，
∴|OP|=

1

2

（|MF₁|+|MF₂|）=a，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=a²
為以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題在橢圓中求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識(shí)，屬于中檔題．