Question

已知函數(shù)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)為，且前n項(xiàng)和滿足．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：
（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和為，問(wèn)使的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

（1），；（2）252.

試題分析：（1）由已知得當(dāng)時(shí)，，則等比數(shù)列的公比，又，解得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；由已知可先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求的通項(xiàng)公式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240511416822723.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，即，從而，又，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可采用裂項(xiàng)求和法先求出前項(xiàng)和，從而可得，故滿足條件的最小正整數(shù)是252.
（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，
則當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以的公比.    2分
，解得..    4分
由題設(shè)知的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和滿足，
由，且.
所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.    6分
，.，又.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.    8分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051141495748.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.    10分
.    12分
要使，則.所以.
故滿足條件的最小正整數(shù)是252.    14分項(xiàng)和公式.