Question

如圖所示，正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱長為．

(1)求證：平面BB₁D₁D⊥ACD₁；

(2)求AA₁與平面ACD₁所成的角；

(3)設(shè)H為截面ACD₁內(nèi)一點，求H到正方體表面ADD₁A₁、DCC₁D₁、ABCD的距離之平方和    的最小值．

Answer 1

解法一：(1)由正方體性質(zhì)易知AC⊥BD，AC⊥BB₁，即AC⊥平面BB₁D₁D，

      又AC平面ACD₁，所以平面BB₁D₁D⊥平面ACD₁．

      (2)作A₁G⊥平面ACD_l，垂足為G，連AG，則∠A₁AG為AA₁與平面ACD₁所成的角．

      連A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B_lD_l=O₁，AC∩BD=O，

      ∵A₁C₁∥AC，AC平面ACD₁，A_lC₁平面ACD₁，

      ∴A₁C₁∥平面ACD₁，即A₁G等于O₁到平面ACD₁的距離．

      連OO₁，OD₁，在Rt△DO₁D₁中，作O₁E上OD₁于E，則由(1)知O₁E⊥平面ACD₁，

      又在Rt△OO₁D₁中，O₁E=，

      所以，sin∠A₁AG=．

      故AA₁與平面ACD₁所成角為arcsin．

      (也可利用DD_l∥AA_l求解)

      (3)分別作HM，HN，HF垂直于平面ADD₁A₁，DOC₁D₁，ABCD，

則HM²+HN²+HF²=HD²，

      ∵HD⊥平面ACD₁時，HD最小值為，故所求距離之平方和的最小值為．

      解法二：以D為原點，射線DA、DC、DD₁為、、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

      (1)

      由知AC⊥DB，AC⊥DD₁，即AC⊥平面BB₁D₁D，

所以平面BB_lD₁D⊥平面ACD₁．

      (2)易知平面ACD₁的法向量為m=(1，1，1)．

又，設(shè)AA₁與平面ACD₁所成角為，則，

      故AA₁與平面ACD₁所成角為arcsin．

      (3)設(shè)H的坐標(biāo)為)，則|HM|²+|HN|²+|HF|²=，

      又，

∴所求距離之平方和的最小值為．