Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面， ， ， 是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得CD⊥平面PAC，結(jié)合線面垂直的定義即可得到AE⊥CD；

(Ⅱ)由題意可得AE⊥PD，AB⊥PD.利用線面垂直的判斷定理可得證明平面；

(Ⅲ)由題意找到二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系可得二面角的大小是.

試題解析：

(I)證明：在四棱錐PABCD中，

因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC.

而AE平面PAC，

∴AE⊥CD.

(II)證明：由PA=AB=BC,∠ABC=60，可得AC=PA.

∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.

由(I)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.

而PD平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.

又AB∩AE=A，綜上得PD⊥平面ABE.

(III)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，連接EM.

由(II)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則EM⊥PD.

因此∠AME是二面角APDC的平面角。

由已知,得∠CAD=30°.設(shè)AC=a,可得 .

在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM.PD=PA.AD.則 .

在Rt△AEM中, .

所以二面角APDC的大小是 .