Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=

n2+3n

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=bn=

an(n為奇數(shù)) 2n(n為偶數(shù))

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n；
（3）某學(xué)生利用第（2）題中的T_n設(shè)計了一個程序框圖如圖所示，但數(shù)學(xué)老師判斷這個程序是一個“死循環(huán)”（即程序會永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意老師的觀點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，檢驗(yàn)n=1時，是否也滿足n≥2時，a_n=S_n-S_n-1得到的式子，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)已知求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和法，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n；
（3）根據(jù)（2）中前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，判斷循環(huán)條件：T_n-P=2009是否會成立，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，
當(dāng)n=1時，有a₁=1+1=2滿足題意，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

a1+an-1

2

•

n

2

+

4(1-2n)

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1）．
當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，
則T_n+1=

(n+1)2+2(n+1)

4

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-1）
=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-1），
而T_n+1=T_n+b_n+1=T_n+2ⁿ⁺¹，
∴T_n=

n2+4n+3

4

+

1

3

•2ⁿ⁺¹-

4

3

．
（3）由程序框圖知，P=

n2

4

+24n．
設(shè)數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=T_n-P（n∈N^*），
當(dāng)n為奇數(shù)時，d_n=

1

3

•2ⁿ⁺¹-23n-

7

12

，令d_n+2-d_n=2ⁿ⁺¹-46＞0，則n≥5，
∴從第5項(xiàng)開始數(shù)列{d_n}中的奇數(shù)項(xiàng)遞增，而d₁，d₃，…，d₁₁均小于2 009且d₁₃＞2 009，
∴d_n≠2 009．當(dāng)n為偶數(shù)時，d_n=

2

3

•2ⁿ⁺¹-

47

2

n-

4

3

，令d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47＞0，則n≥4，
∴從第4項(xiàng)開始數(shù)列{d_n}中的偶數(shù)項(xiàng)遞增，而d₂，d₄，…，d₁₀均小于2 009且d₁₂＞2 009，
∴d_n≠2 009（n∈N^*）．故d_n≠2 009，即T_n-P≠2 009（n∈N^*），
即程序?yàn)樗姥�環(huán)，所以老師的判斷是正確的．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列求和，程序框圖，其中（1）中數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）中數(shù)列求和的基礎(chǔ)，（2）中數(shù)列求和又是判斷循環(huán)條件的基礎(chǔ)．