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【題目】已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）直線與橢圓交于點A、B，線段的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為的重心，試問：的面積S是否為定值，若是，求出這個值；若不是，求S的取值范圍.

【答案】（1）；（2）的面積為定值.

【解析】

（1）依題意可得：，解得，可得橢圓的方程.

（2）若直線的斜率不存在，由已知可得，，可求得的面積S；若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，，直線與橢圓的方程聯立可得，則，，，由點為的重心，設，求得點P的坐標，代入橢圓的方程中得到m與k的關系，再運用三角形的面積公式求得的面積，得出結論.

（1）依題意得：，解得，所以橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，因為點O為的重心，所以，，

所以的面積.

若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，，

即，聯立化簡得，

則，，

由題意點為的重心，設，則，，

所以，，代入橢圓，

得，整理得，

設坐標原點到直線的距離為，則的面積

.

綜上可得的面積為定值.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統(tǒng)計數據如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.

年份

年份代號

年利潤（單位：億元）

（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；

（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.

參考公式：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創(chuàng)新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質花苗．

（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；

（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質花苗數的分布列和數學期望；

（3）填寫下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質花苗與培育方法有關．

優(yōu)質花苗

非優(yōu)質花苗

合計

甲培育法

20

乙培育法

10

合計

附：下面的臨界值表僅供參考．

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設A、B是拋物線上分別位于x軸兩側的兩個動點，且，（其中O為坐標原點）．

（1）求證：直線必與x軸交于一定點Q，并求出此定點Q的坐標；

（2）過點Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點，求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】等邊的邊長為，點，分別是，上的點，且滿足 (如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).

(1)求證：平面；

(2)在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）當時，證明：函數有兩個零點．

（2）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，證明（為自然對數的底數）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程；

(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個交點為為橢圓上的一點,當面積最大時,求點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校為確定數學成績與玩手機之間的關系，從全校隨機抽樣調查了40名同學，其中40%的人玩手機．這40位同學的數學分數（百分制）的莖葉圖如圖①所示．數學成績不低于70分為良好，低于70分為一般．

（1）根據以上資料完成下面的列聯表，并判斷有多大把握認為“數學成績良好與不玩手機有關系”．

數學成績良好

數學成績一般

總計

不玩手機

玩手機

總計

40

（2）現將40名同學的數學成績分為如下5組：

，其頻率分布直方圖如圖②所示．計算這40名同學數學成績的平均數，由莖葉圖得到的真實值記為，由頻率分布直方圖得到的估計值記為（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表），求與的誤差值．

（3）從這40名同學數學成績高于90分的7人中隨機選取2人，求至少有一人玩手機的概率．

附：，

這40名同學的數學成績總和為2998分．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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