Question

14．如圖，AD，CF分別是△ABC的中線和高線，PB，PC是△ABC外接圓O的切線，點E是PA與圓O的交點．
（1）求證：AC•CD=AF•PC；
（2）求證：DC平分∠ADE．

Answer 1

分析 （1）證明△AFC∽△CDP，即可證明AC•CD=AF•PC；
（2）延長AD交圓O于點G，連結GE，BG，EC，證明，△BDG≌△CDE，可得∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，即可證明：DC平分∠ADE．

解答 證明：（1）由PC為圓O切線，知∠CAF=∠DCP，（1分）
∵PB，PC是圓O的切線，D為BC中點，
∴O，D，P三點共線，且OP⊥BC，（2分）
∴∠AFC=∠CDP=90°，△AFC∽△CDP，（3分）
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{CP}$，即AC•CD=AF•CP．（4分）
（2）∵CF⊥AB，D為BC中點，
∴$FD=\frac{1}{2}BC=DC=DB$，∠DFB=∠DBF，（5分）
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FD}{CP}$，于是$\frac{FA}{FD}=\frac{CA}{CP}$，（6分）
又∵∠AFD=180°-∠DFB=180°-∠ABC=∠ACP，
∴△AFD∽△ACP，（7分）
延長AD交圓O于點G，連結GE，BG，EC，
由△AFD∽△ACP，知∠DAF=∠PAC，
∴BG=EC，∠CBG=∠BCE，（8分）
又D為BC中點，DB=DC，∴△BDG≌△CDE，（9分）
∴∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，
∴DC平分∠ADE．（10分）

點評 本小題考查相似三角形、圓心與半徑、切割線、角平分線等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想．