Question

如圖，現(xiàn)有一塊半徑為2m，圓心角為90°的扇形鐵皮AOB，欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形ONPQR，使點(diǎn)P在AB弧上，點(diǎn)M，N分別在半徑OA和OB上，四邊形PMON是矩形，點(diǎn)Q在弧AP上，R點(diǎn)在線段AM上，四邊形PQRM是直角梯形．現(xiàn)有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面積達(dá)到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面積也達(dá)到最大：求出裁剪出的五邊形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：弧度制的應(yīng)用

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①設(shè)∠PON=θ，則ON=OPcosθ，PN=OPsinθ．可得矩形PMON的面積S=2cosθ•2sinθ=2sin2θ，可得當(dāng)θ=45°時(shí)，此時(shí)矩形PMON的面積最大．
②如圖所示，設(shè)∠QOE=α，（45°＜α＜90°）．作QE⊥OB，垂足為E，交MP于點(diǎn)F．QE=OQsinα=2sinα，OE=OQcosα=2cosα．可得直角梯形PQRM的面積S=

(QR+MP)×RM

2

=
=

1

2

(4sinαcosα+2

2

sinα-2

2

cosα-2)．令t=sinα-cosα，t∈（0，1）．可得S（t）=

1

2

(2-2t2+2

2

t-2)=-(t-

2

2

)2+

1

2

，即可得出最大值．

解答： 解：①設(shè)∠PON=θ，則ON=OPcosθ，PN=OPsinθ．
∴矩形PMON的面積S=2cosθ•2sinθ=2sin2θ≤2，當(dāng)θ=45°時(shí)，此時(shí)矩形PMON的面積最大為2．
②如圖所示，設(shè)∠QOE=α，（45°＜α＜90°）．
作QE⊥OB，垂足為E，交MP于點(diǎn)F．
QE=OQsinα=2sinα，OE=OQcosα=2cosα．
∴RM=QE-EF=2sinα-

2

．
∴直角梯形PQRM的面積S=

(QR+MP)×RM

2

=

(2cosα+ 2 )(2sinα- 2 )

2

=

1

2

(4sinαcosα+2

2

sinα-2

2

cosα-2)．
令t=sinα-cosα，t∈（0，1）．
則t²=1-2sinαcosα，可得sinαcosα=

1-t2

2

．
∴S（t）=

1

2

(2-2t2+2

2

t-2)=-(t-

2

2

)2+

1

2

，
∴當(dāng)t=

2

2

時(shí)，S（t）取得最大值

1

2

，此時(shí)

2

2

=

2

sin(α-45°)，解得α=75°．
∴裁剪出的五邊形的面積=2+

1

2

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角為90°的扇形鐵皮AOB中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形ONPQR的面積最大值問(wèn)題，考查了三角函數(shù)的變換及其單調(diào)性，考查了矩形與直角梯形面積的最大值問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．