Question

8．已知：數(shù)列{a_n}中，$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，a₂=6，n∈N⁺．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達(dá)式并給出證明；
（3）記：S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，證明：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接由數(shù)列遞推式結(jié)合a₂=6依次求得a₁，a₃，a₄；
（2）由數(shù)列前4項(xiàng)歸納猜測(cè)a_n=n（2n-1），然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）由$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），作和后放縮得答案．

解答 （1）解：當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{2}+{a}_{1}-1}{{a}_{2}-{a}_{1}+1}=\frac{6+{a}_{1}-1}{6+{a}_{1}+1}=1$，a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}-1}{{a}_{3}-{a}_{2}+1}=2$，a₃=15；
當(dāng)n=3時(shí)，$\frac{{a}_{4}+{a}_{3}-1}{{a}_{4}-{a}_{3}+1}=3$，a₄=28．
∴a₁=1，a₃=15，a₄=28；
（2）解：猜想a_n=n（2n-1）．
證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1×（2×1-1）=1成立，當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2×（2×2-1）=6成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即a_k=k（2k-1），
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，由$\frac{{a}_{k+1}+{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-{a}_{k}+1}=k$，得$\frac{{a}_{k+1}+k（2k-1）-1}{{a}_{k+1}-k（2k-1）+1}=k$，
∴$k{a}_{k+1}-2{k}^{3}+{k}^{2}+k={a}_{k+1}+2{k}^{2}-k-1$，
得a_k+1=（k+1）（2k+1），即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
綜上，a_n=n（2n-1）；
（3）證明：∵$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=1+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）＜\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．