Question

已知圓C的方程為x²+y²=4，直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．過點(diǎn)（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與圓C交于M、N兩點(diǎn)，則四邊形PMQN面積的大值（　�。�

A．1

B．3

C．5

D．7

Answer 1

分析：設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積S，直線l，l₁都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且l⊥l₁，根據(jù)題勾股定理，知d₁²+d²=1，又根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得到|PQ|=2

4-d2

，|MN|=2

4-d12

，由此能求出四邊形PMQN面積的大值．

解答：解：設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，
四邊形PMQN的面積S，
∵直線l，l₁都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且l⊥l₁，
根據(jù)題勾股定理，知d₁²+d²=1，

又根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得到
|PQ|=2

4-d2

，|MN|=2

4-d12

，
而S=

1

2

|PQ|•|MN|，
即S=

1

2

×2×

4-d 2

×2×

4-d12

=2

16-4(d12+d2)+d12d2

=2

12+d12d2

≤2

12+( d12+d2 2 )2

=2

12+ 1 4

=7．
當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d時(shí)，等號(hào)成立，
所以S的最大值為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意垂徑定理和勾股定理的靈活運(yùn)用．