精英家教網(wǎng)如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動,另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,則MN的中點的軌跡的面積為( 。
A、4π
B、2π
C、π
D、
π
2
分析:根據(jù)題意,連接N點與D點,得到一個直角三角形△NMD,P為斜邊MN的中點,所以|PD|的長度不變,進而得到點P的軌跡是球面的一部分.
解答:解:如圖可得,端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,連接N點與D點,精英家教網(wǎng)
由ND,DM,MN構(gòu)成一個直角三角形,
設(shè)P為MN的中點,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得
不論△MDN如何變化,P點到D點的距離始終等于1.
故P點的軌跡是一個以D為中心,半徑為1的球的
1
8
球面積.
所以答案為
π
2
,
故選D.
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計算公式.
練習冊系列答案
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