Question

在直角坐標系xoy中，若角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線l：y=2

2

x（x≥0）．
（1）求sin(α+

π

6

)的值；
（2）若點P，Q分別是角α始邊、終邊上的動點，且PQ=4，求△POQ面積最大時，點P，Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）由射線l的方程找出斜率即為α的正切值，根據(jù)α為第一象限的角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα和cosα的值，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把所求的式子化簡后，把各自的值代入即可求出值；
（2）由P和Q的坐標，利用兩點間的基本公式表示出PQ²，把PQ的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，且求出ab取最大值時a與b的值，利用三角形的面積公式，由OP的長與Q點的縱坐標乘積的一半即可表示出三角形POQ的面積，把ab的最大值代入即可求出面積的最大值，然后把求出的a與b代入P和Q的坐標中確定出兩點坐標．

解答：解：（1）由射線l的方程為y=2

2

x（x≥0），
得到tanα=2

2

，且α為第一象限的角，
∴cosα=

1

secα

=

1

1+tan2α

=

1

3

，
則sinα=

1-cos2α

=

2 2

3

，
故sin(α+

π

6

)=sinαcos

π

6

+cosαsin

π

6

=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

1+2 6

6

．…4分
（2）設(shè)P(a，0)，Q(b，2

2

b)(a＞0，b＞0)．
在△POQ中因為PQ²=（a-b）²+8b²=16，…6分
即16=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，所以ab≤4     …8分
∴S_△POQ=

1

2

a•3bsinα≤4

2

．當(dāng)且僅當(dāng)a=3b，即a=2

3

，b=

2 3

3

取得等號．…11分
所以△POQ面積最大時，點P，Q的坐標分別為P(2

3

，0)，Q(

2 3

3

，

4 6

3

)．…15分

點評：此題考查了直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及基本不等式，其中根據(jù)射線的斜率得到tanα的值是解第一問的突破點．