Question

已知函數f(x)=-ln(x+m).

(Ι)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明f(x)>0.

 

Answer 1

【答案】

(Ι) 在上是減函數；在上是增函數（Ⅱ）見解析

【解析】(Ι)因為, x=0是f(x)的極值點，所以,解得，

所以函數f(x)=-ln(x+1)，其定義域為，因為=，

設，則，所以在上是增函數，又因為，所以當時，，即；當時，，，所以

在上是減函數；在上是增函數.

（Ⅱ）當m≤2，時，，故只需證明當時，.

當時，函數在單調遞增，

又故在有唯一實根，且，

當時，；當時，，從而當時，取得最小值，

由得：，即，

故=，

綜上，當m≤2時，.

本題第（Ⅰ）問，由極值點得出,在x=0處的導數等于0,求出m值;對單調性,而判斷導數的正負號，從而需構造函數，通過判斷函數的單調性，來得出的正負，從而求得結果; 對第（Ⅱ）問,要證明,只需要證明即可.對第(Ι)問,函數單調性的討論,一部分想不到構造函數;對第（Ⅱ）問,證明不等式,找不到思路.

【考點定位】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值、證明不等式等知識，綜合性較強，考查函數與方程、分類討論等數學思想，考查同學們分析問題、解決問題的能力，熟練函數與導數的基礎知識以及基本題型是解答好本類題目的關鍵.