Question

已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見解析;  ；（2）

【解析】

試題分析：(1)把點(diǎn)（a_n，a_n+1）代入f(x)=x²+2x中，整理可得遞推公式a_n+1+1=(a_n+1)²，兩邊取常用對(duì)數(shù)，整理可證是公比為2，a₁=2的等比數(shù)列，然后由數(shù)列的通項(xiàng)公式可推出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（2）由已知遞推公式a_n+1=a_n²+2a_n變形整理得，代入中，整理可得最后利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n.

試題解析：(Ⅰ)由已知,          

          ,兩邊取對(duì)數(shù)得 ,即 

是公比為2的等比數(shù)列.

     (*)

由(*)式得 

(2)                 

又 

  

.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推公式及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式；2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.