考點:函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)直接由f(0)=0求得b,再由f(1)=-f(1)求得a;
(2)由(1)求得的a,b的值得到函數(shù)解析式,然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域求得f(x)的值域;
(3)判斷出函數(shù)f(x)為減函數(shù),把不等式不等式f(4x-k2x+1)+f(k22x+1+k-1)<0轉(zhuǎn)化為4x-k2x+1>-k22x+1-k+1,令2x=t(t>0),化為關(guān)于t的不等式(2k+1)t2-2kt+k-1>0對于任意的t>0恒成立,然后由三個二次結(jié)合得答案.
解答:
解:(1)∵f(x)=
是奇函數(shù),
∴f(0)=0,
即
=0,b=1,
∴f(x)=
,
又由f(1)=-f(-1)知
=-.
∴a=2,b=1;
(2)由(1)知
f(x)==-+,
當(dāng)x∈R時,2
x+1>1,
0<<1,
∴f(x)∈(
-,);
(3)由(2)知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).
由f(4
x-k2
x+1)+f(k2
2x+1+k-1)<0恒成立,
等價于f(4
x-k2
x+1)<-f(k2
2x+1+k-1)=f(-k2
2x+1-k+1),
即4
x-k2
x+1>-k2
2x+1-k+1恒成立,
令2
x=t(t>0),
則(2k+1)t
2-2kt+k-1>0對于任意的t>0恒成立,
則
| 2k+1>0 | (-2k)2-4(2k+1)(k-1)<0 |
| |
或
,
解得:k>
或k∈∅,
綜上,滿足對任意的x∈R,不等式f(4
x-k2
x+1)+f(k2
2x+1+k-1)<0恒成立的實數(shù)k的取值范圍是
(,+∞).
點評:本題考查了函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用,考查了函數(shù)單調(diào)性的判定方法,訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用“三個二次”的結(jié)合求解參數(shù)問題,是壓軸題.