Question

20．如圖，在多面體ABCDE中，ABDE是平行四邊形，AB、AC、AD兩兩垂直．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ECD；
（Ⅱ）若BC=CD=DB=$\sqrt{2}$，求點(diǎn)B到平面ECD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB⊥AC，AB⊥AD，得AB⊥平面ACD，推導(dǎo)出AB∥DE，從而DE⊥平面ACD，由此能證明平面ACD⊥平面ECD．
（Ⅱ）連接BE．設(shè)B到平面CDE的距離為h，由V_B-CDE=V_E-BCD，能求出B到平面CDE的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD，
∵ABDE是平行四邊形，∴AB∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵DE?平面CDE，
∴平面ACD⊥平面ECD．
解：（Ⅱ）連接BE．∵AB，AC，AD兩兩互相垂直，$BC=CD=DB=\sqrt{2}$，
∴$A{C^2}+A{C_1}^2=A{C^2}+A{B_1}^2=A{B_1}^2+A{C_1}^2=2$，
∴AC=AC₁=AB₁=1，
∴${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{A{B_1}{C_1}}}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$，
∵AE∥BD，∴AE∥平面BCD，
∴${V_{E-BCD}}={V_{A-BCD}}=\frac{1}{6}$．
又由（Ⅰ）知DE⊥平面ACD，
∴DE⊥CD，∴${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}DE•CD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
設(shè)B到平面CDE的距離為h，
所以由V_B-CDE=V_E-BCD，得$\frac{1}{3}{S_{△CDE}}•h=\frac{1}{6}$，
所以$h=\frac{{\frac{1}{2}}}{{{S_{△CDE}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即B到平面CDE的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．