Question

20．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-1（-2≤x≤0）\\ x-1（0＜x≤2）\end{array}\right.$，$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x，x∈[-2，2]$，若$g（{log_2}a）+g（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2g（\frac{1}{2}）$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． $[1，\sqrt{2}]$
• C． $[\frac{1}{2}，2]$
• D． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-1（-2≤x≤0）\\ x-1（0＜x≤2）\end{array}\right.$，$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x，x∈[-2，2]$，
∴當(dāng)-2≤x≤0時，g（x）=-1-$\frac{1}{2}x$，為減函數(shù)
當(dāng)0＜x≤2時，g（x）=x-1-$\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}x$-1，為增函數(shù)，
則若-2≤x＜0，則0＜-x≤2，則g（-x）=-$\frac{1}{2}x$-1=g（x），
若0＜x≤2，則-2≤-x＜0，則g（-x）=$\frac{1}{2}x$-1=g（x），
則恒有g(shù)（-x）=g（x），即函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
則g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-1$=$-\frac{3}{4}$．
則$g（{log_2}a）+g（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2g（\frac{1}{2}）$等價為g（log₂a）+g（-log₂a）≤2×（$-\frac{3}{4}$）=-$\frac{3}{2}$，
即2g（log₂a）≤2×（$-\frac{3}{4}$），
則g（log₂a）≤（$-\frac{3}{4}$），
即g（log₂a）≤g（$\frac{1}{2}$），
即g（|log₂a|）≤g（$\frac{1}{2}$），
則|log₂a|≤$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$≤log₂a≤$\frac{1}{2}$，
得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，并判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．