Question

已知：a＞0，函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），把x=1代入即可得到切線的斜率，然后求出f（1）得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率與切點(diǎn)寫(xiě)出切線方程，又因?yàn)榍芯�與圓相切，則根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出關(guān)于a的方程，求出a的值即可；（2）求出f′（x），根據(jù)a大于0來(lái)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)x的取值范圍即可得到函數(shù)的增減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=ax-lnx
∴f′(x)=a-

1

x

，f′(1)=a-1
又f（1）=a∴l(xiāng)的方程為：y-a=（a-1）（x-1）
即：（a-1）x-y+1=0
又l與圓（x+1）²+y²=1相切，
則圓心（-1，0）的直線l的距離等于半徑即

|(a-1)(-1)+1|

(a-1)2+1

=1，兩邊平方化簡(jiǎn)得：-4a+4=-2a+3，解得a=1；
（2）f′(x)=a-

1

x

=

a(x- 1 a )

x

∵a＞0，
∴

1

a

＞0又x＞0
∴當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，x＞

1

a

當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，0＜x＜

1

a

∴f（x）增區(qū)間為(

1

a

，+∞)，減區(qū)間為(0，

1

a

)

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)的條件，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．