Question

已知直線l經過拋物線y²=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．
（1）若|AF|=4，求點A的坐標；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求線段AB的長．

Answer 1

解：由y²=4x，得p=2，其準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．（2分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由拋物線的定義可知，|AF|=，從而x₁=3．
代入y²=4x，解得．
∴點A的坐標為（3，2）或（3，-2）．（6分）
（2）直線l的方程為y-0=tan45°（x-1），即y=x-1．
與拋物線方程聯(lián)立，得，（9分）
消y，整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．
由拋物線的定義可知，|AB|=p+x₁+x₂=6+2=8．
所以，線段AB的長是8．（12分）
分析：（1）由y²=4x，得p=2，其準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由拋物線的定義可知，|AF|=，從而x₁=3．由此能得到點A的坐標．
（2）直線l的方程為y=x-1．與拋物線方程聯(lián)立，得，整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由拋物線的定義可知線段AB的長．
點評：本題考查直線和拋物線的位置關系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意拋物線性質的合理運用．