Question

11．若橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)在單位圓上，則此橢圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)在單位圓上，求出b=c=1，a=$\sqrt{2}$，由此能求出此橢圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)．

解答 解：不妨設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)在單位圓上，
∴依題意，得b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
設(shè)此橢圓的內(nèi)接正方形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，x₀），
代入橢圓方程，得${x}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴正方形邊長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．