Question

【題目】在四棱錐中，，．為的中點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）當(dāng)平面平面時(shí)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的大小為？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．

【解析】

(1)利用線面平行的判定定理證明平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性質(zhì)即可得到平面；

(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

證明：（1）連接，．由已知得，為等邊三角形，．

∵，，由余弦定理可得：

∴

∴，∴

又∵平面，平面

∴平面

∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴．

又∵平面，平面

∴平面．

∵，平面

∴平面平面．

∵平面，∴平面．

（2）取中點(diǎn)為，連接,

因?yàn)?/span>，，所以，．

∵平面平面，且交線為，，面

∴平面．

，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

，，，，．

設(shè)，則可得

∵平面

∴平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)平面的法向量為．

∵，

由得

取 得

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則

化簡得：，解得(舍)，

∴．