【題目】如圖,要在河岸的一側(cè)修建一條休閑式人行道,進(jìn)行圖紙?jiān)O(shè)計(jì)時(shí),建立了圖中所示坐標(biāo)系,其中,在軸上,且,道路的前一部分為曲線段,該曲線段為二次函數(shù)在時(shí)的圖像,最高點(diǎn)為,道路中間部分為直線段,,且,道路的后一段是以為圓心的一段圓弧.
(1)求的值;
(2)求的大;
(3)若要在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”,在圓弧上運(yùn)動(dòng),、在上,記,則當(dāng)為何值時(shí),“矩形草坪”面積最大.
【答案】(1);(2);(3)當(dāng)時(shí),矩形草坪面積最大.
【解析】
(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,可得出實(shí)數(shù)的值;
(2)在函數(shù)的解析式中令,可求出點(diǎn)的坐標(biāo),由此得出,可求出,計(jì)算出,由此可得出;
(3)可得出,,從而得出“矩形草坪”的面積關(guān)于的表達(dá)式,利用三角恒等變換思想將關(guān)于的表達(dá)式化簡(jiǎn)為,結(jié)合角的范圍,可計(jì)算出的最大值以及對(duì)應(yīng)的值.
(1)由圖可知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),
;
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),,,
又在中,,;
(3)由(2)可知 易知矩形草坪面積最大時(shí),Q在OD上.
如圖:,,,
又,
矩形草坪的面積為:,
又,故當(dāng) 即時(shí),有.
綜上所述,當(dāng)時(shí),矩形草坪面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權(quán)利,培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣,提高全民閱讀能力,推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè).某高校為了解條例發(fā)布以來(lái)全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表);
(2)由直方圖可以認(rèn)為,目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算:若,令,則,且.利用直方圖得到的正態(tài)分布,求.
(ii)從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù),求(結(jié)果精確到0.0001)以及的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):,.若,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線,設(shè)M(x,y)為上任意一點(diǎn),求的最小值,并求相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn),且的最大值為4,橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).
Ⅰ求橢圓C的方程;
Ⅱ設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作兩條直線,與圓相切且分別交橢圓于M,N,求證:直線MN的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高三年級(jí)有500名學(xué)生,為了了解數(shù)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī),制成如下頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
12 | ||
4 | ||
合計(jì) |
根據(jù)上面圖表,求處的數(shù)值
在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出的頻率分布直方圖;
根據(jù)題中信息估計(jì)總體平均數(shù),并估計(jì)總體落在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,.為的中點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn),求證:平面;
(2)當(dāng)平面平面時(shí),線段上是否存在一點(diǎn),使得平面與平面所成銳二面角的大小為?若存在,求出點(diǎn)的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E:1(a>0)的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,點(diǎn)P是直線x上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓E上,且滿(mǎn)足0.
(1)試求出實(shí)數(shù)a;
(2)設(shè)直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2,求積k1k2的值;
(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿(mǎn)足,證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題:①設(shè)A,B為兩個(gè)集合,則“”是“”的充分不必要條件;②,;③“”是“”的充要條件;④,代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù).其中的真命題是________.(填寫(xiě)序號(hào))
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