Question

【題目】在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角是. 若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）

（3）在棱上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

【解析】

（Ⅰ）由， 是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到．

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，分別以為軸，如圖建立坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（Ⅲ）設(shè)且，求得，利用向量的夾角公式，求得，即可求解.

（1）證明：∵， 是的中點(diǎn)，∴，

又平面，∴，

∵，∴平面，

∴．

（2）以為原點(diǎn)，分別以， 為， 軸，如圖建立坐標(biāo)系．

則：， ， ， ， ，

， ， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則： ，

取， ， ，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則

取， ， ，所以，

．

故平面與平面所成的二面角的正弦值為．

（3）在棱上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角是，

設(shè)且， ，

∴，

∴， ， ，∴，

若直線與平面所成的的角為，

則 ，解得，

所以在棱上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．