Question

6．如圖，設P是正方形ABCD內部的一點，P到頂點A，B，C的距離分別是1，2，3，求正方形的邊長．

Answer 1

分析 設邊長為x（1＜x＜3）在DABP中，cos$∠ABP=\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{1}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$，在DCBP中，cos∠CBP=$\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{3}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$，從而（$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$）²+（$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$）²=1，由此利用換元法能求出正方形的邊長．

解答 解：設邊長為x（1＜x＜3）
在DABP中，cos$∠ABP=\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{1}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$，①
在DCBP中，cos∠CBP=$\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{3}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$，②
①²+②²得（$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$）²+（$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$）²=1，
設x²=t，則1＜t＜9，得（t+3）²+（t-5）²=16t．
解得${t}_{1}=5+2\sqrt{2}$，${t}_{2}=5-2\sqrt{2}$，
綜上所述，正方形的邊長為$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$，或$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

點評 本題考查正方形邊長的求法，考查余弦定理、三角形性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．