在如圖所示的幾何體中，平面，∥， 是的中點，，．
（1）證明：∥平面；
（2）求二面角的大小的余弦值．
（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內(nèi)的一條直線平行，取中點，連接，則，且，由已知得，且，故，則四邊形是平行四邊形，可證明，進而證明∥平面，或可通過建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo)，證明直線的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夾角的余弦值，再觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，來決定二面角的大小的余弦值的正負(fù)，從而求解．
（1）因為，∥，所以平面．
故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是，，，，
， ． 
所以，
因為平面的一個法向量為，
所以，
又因為平面，所以平面．   6分
（2）由（1）知，，，．
設(shè)是平面的一個法向量，由 得
，取，得，則
設(shè)是平面的一個法向量，由得
，取，則，則
設(shè)二面角的大小為，則，故二面角的大小的余弦值為．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，
，。M、N分別是AC和BB1的中點。
（1）求二面角的大小。
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面⊥平面，   
并求出的長度。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，平面平面,//,,
,且，.
（1）求證：平面；
（2）求和平面所成角的正弦值；
（3）在線段上是否存在一點使得平面平面，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．
（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）設(shè)（1）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側(cè)棱的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，平面M、N互相垂直，棱a上有兩點A、B，AC?M，BD?N，且AC⊥a，BD⊥a，AB=12cm，AC=3cm，BD=4cm，則CD=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知點A（-3,1,4），則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（  ）
A．（-3,1，-4）B．（3，-1，-4）C．（-3，-1，-4）D．（-3，,1，-4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點，.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知向量＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，則(　　)
A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝

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