Question

11．已知p：直線y=（2m-3）x-m的圖經(jīng)過(guò)第一象限，q：方程$\frac{{x}^{2}}{1-m}$-y²=1表示雙曲線，若命題p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 畫(huà)圖得到直線y=（2m-3）x-m的圖經(jīng)過(guò)第一象限時(shí)m的范圍，再求出方程$\frac{{x}^{2}}{1-m}$-y²=1表示雙曲線的m的范圍，然后結(jié)合復(fù)合命題的真假判斷求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由y=（2m-3）x-m，得（2x-1）m-3x-y=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{-3x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線y=（2m-3）x-m過(guò)定點(diǎn)M（$\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}$），
如圖，若使直線y=（2m-3）x-m的圖經(jīng)過(guò)第一象限，則
2m-3＜-3或2m-3＞0，
解得：m＜0或m$＞\frac{3}{2}$；
若方程$\frac{{x}^{2}}{1-m}$-y²=1表示雙曲線，則1-m＞0，即m＜1．
若命題p∧q為假，p∨q為真，
則p與q一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)，有m$＞\frac{3}{2}$；
當(dāng)p假q真時(shí)，有0≤m＜1．
綜上，取并集可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1）∪（$\frac{3}{2}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查了直線系方程的應(yīng)用，考查曲線為雙曲線的條件，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．