Question

14．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C₁與C₂的公共點(diǎn)，若橢圓C₁的離心率e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，則雙曲線C₂的離心率e₂的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓及雙曲線方程，利用定義求得丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，利用勾股定理及橢圓的離心率公式，求得a₂²=$\frac{2}{3}$c²，利用雙曲線的離心率公式即可求得e₂的值

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}=1$（a₁＞b₁＞0），雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$（a₂＞0，b₂＞0），
由題意可知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a₁，丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a₂，
丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，則丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=丨F₁F₂丨²，
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²，即a₁²+a₂²=2c²，
由橢圓C₁的離心率e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則3a₁²=4c²，
∴a₂²=$\frac{2}{3}$c²，即$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則雙曲線C₂的離心率e₂的值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．