Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處的切線與直線平行，求的值及的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：在定義域內(nèi)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1），單調(diào)區(qū)間見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令可求得的值，再解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，即可得到單調(diào)區(qū)間；

（2）利用分析法證明，當(dāng)時(shí)，即證：有兩個(gè)不同的根，即證有兩個(gè)不同的解，即證有兩個(gè)不同的解，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象特征，即可得答案；

（1），，所以，

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

在區(qū)間，，減區(qū)間為；

在區(qū)間，，，區(qū)間增區(qū)間為

（2）當(dāng)時(shí)，即證：有兩個(gè)不同的根，

即證有兩個(gè)不同的解，

即證有兩個(gè)不同的解，

令，，，得，

減區(qū)間為，增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，

即在定義域內(nèi)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn).